<코어논리학> - 1

https://blog.naver.com/sy9777m/223177611584

<코어논리학> - 1

---

논증이란 무엇인가?

논리학은 추론(inference) 또는 논증(argument)을 연구하고 평가하는 학문이다. 논리학을 배움으로써 얻게 되는 가장 중요한 효용성은 타당한 논증과 부당한 논증을 구별할 수 있는 능력이다. 양자를 구별할 수 있는 능력을 갖게 됨으로써 자신의 주장을 좀 더 효과적으로 타인에게 전달할 수 있고, 또한 잘못된 판단을 내리는 것을 피할 수 있다.

 

추론은 어떤 주장을 이미 알려진 정보를 토대로 이끌어 내는 과정이다. 주어진 전제들로부터 어떤 결론을 이끌어내는 과정이다.

 

추론을 말로 표현하면 논증이다. 논증은 전제와 결론으로 구성되며 두가지 특성을 갖는다.

1. 논증을 제시하는 사람은 전제들이 결론을 옹호한다는 점을 주장해야 한다.
2. 또한 그는 전제들이 참이라고 주장해야 한다.

 

전제가 결론을 옹호하지 않는다면, 결론을 받아들일 이유가 없다. 그리고 비록 전제가 결론을 옹호한다 하더라도, 전제가 참이 아니라면 결론을 받아들일 필요가 없다.

 

설명(explanation)은 이미 알려진 어떤 사실이 왜 발생했는지를 밝히려는 시도이다. 설명은 이미 알려진 사실이 왜 발생했는지를 밝히려는 것을 목적으로 한다.

 

논증(argument)은 어떤 것이 참임을 기존의 지식에 의거하여 확립하려는 시도이다. 논증은 논란이 되고 있는 결론의 참을 확립하는 것을 목적으로 한다.

• 설명에서는 피설명항의 참이 논란거리가 아니지만, 논증에서는 결론의 참이 논란거리가 된다.
• 설명에서 설명항(explanans)은 피설명항(explanandum)이 왜 성립하는지를 보여 주고자 한다.
• 논증에서 전제(premise)는 주어진 결론(conclusion)이 참임을 옹호하는 역할을 한다.

 

연역 논증과 귀납 논증

연역 논증과 귀납 논증은 전제와 결론 사이에 성립한다고 주장되는 추론의 강도(inferential strength)에 의해 구분할 수 있다.

 

연역 논증(deductive argument)

• 주어진 논증의 전제들이 참이라는 가정하에서 결론이 반드시 참이라고 주장하는 경우
• 어떤 사람이 주어진 논증들의 전제들이 참이라는 가정하에서 결론이 반드시 참이라고 단언적으로 주장하는 경우

 

귀납 논증(inductive argument)

• 주어진 논증들의 전제들이 참이라는 가정에서 결론의 참이 절대적으로 보증되는 것은 아니지만, 그럼에도 참일 개연성이 높다고 주장하는 경우
• 어떤 사람이 주어진 논증의 전제들이 참이라는 가정하에서 결론의 참이 절대적으로 보증되는 것은 아니지만, 그럼에도 결론을 개연적으로 주장하는 경우

 

귀납 논증은 전제들이 결론을 절대적으로 보증한다고 주장하지 않고, 단지 전제들이 결론을 받아들일 좋은 근거를 제시한다고 주장한다. 따라서 귀납 논증은 타당성의 여부로 평가할 수 없다. 그러므로 귀납논증은 전제들이 결론을 옹호하는 정도에 따라 귀납적으로 강한(inductively strong) 또는 귀납적으로 약한(inductively weak)이라는 표현을 사용하여 논증을 평가해야 한다.

 

정의: A는 강한 귀납 논증이다 = A의 전제들이 모두 참이라면 A의 결론은 참일 개연성이 높다.

정의: A는 약한 귀납 논증이다 = A의 전제들이 모두 참이라도 A의 결론은 참일 개연성이 낮다.

 

💡 도박꾼의 오류 (the gambler's fallacy) - 동전 던지기에서 계속해서 앞면이 나오면, 다음번에 뒷면이 나올 확률이 높아졌다고 생각하는 오류

귀납 논증의 문제

결론이 거짓일 가능성이 항상 존재한다.

• 연역 논증은 건전한 경우에 그 결론이 항상 참이다. 아무리 귀납적으로 강한 논증일지라도 결론의 참을 절대적으로 보증하지 못한다.

 

결론이 불안정하다.

• 새로운 정보가 추가될 경우 그 결론이 바뀔 수 있다.

 

귀납 논증의 이점

연역 논증은 전제가 참이면 결론이 참임을 절대적으로 보증한다. 연역 논증은 그 전제의 참을 경험적으로 확립할 방법이 없다. 그러나 귀납 논증은 전제의 참이 결론의 참을 절대적으로 보증하지는 않지만, 전제의 참을 경험적으로 확립할 수 있다. 귀납 논증의 장점은 전제의 참을 확립하기 수월하다는 점이다.

 

통계적인 정보를 이용해 추론하기 위해서는 귀납 논증을 사용해야 한다.

 

연역 논증과 귀납 논증의 구분

1. 전제와 결론 사이에 성립한다고 주장되는 추론의 강도에 의해
2. 논증의 결론을 단언적 주장으로 옹호하는지, 단지 개연적 주장으로서 옹호하는지에 의해
3. 사용되는 특별한 지시어들에 의거하여
4. 주장하는 바가 전제들의 참이 결론의 참을 보증하면 연역, 전제들이 참이라는 가정하에서 결론이 참일 개연성이 높으면 귀납

 

논증의 평가

논증의 유형을 분류하는 것과 그렇게 분류하는 논증을 평가하는 것은 구분되어야 한다. 논증의 전제들이 참일지라도 결론이 반드시 참인 것은 아니다.

 

참, 타당성 그리고 건전성

• 참(truth)은 진술의 특성이다. 즉, 전제와 결론에 관한 특성이다.
• 타당성(validity)은 이런 진술들로 이루어진 논증의 특성이다.

 

정의: 논증 A는 타당하다 = A의 전제들이 모두 참이면 A의 결론은 반드시 참이다.

 

정의: 논증 A는 부당하다 = A는 타당하지 않다.

 

A이면 B이다. (If A, then B.)
A이다. (A.)
그러므로 B이다. (Therefore, B.)

 

이러한 구조를 갖는 어떤 논증도 타당하다. 왜냐하면 이러한 구조가 표현하는 추론 규칙이 명백히 올바르기 때문이다. 이 구조는 항상 참인 전제들로부터 참인 결론으로 인도하는 그러한 구조를 가지고 있다.

 

정의: 논증 A는 건전하다 = A는 타당하고, 또한 A의 전제들이 모두 참이다.
(A is sound = A is valid and its premises are all true.)

 

💡 전건 부정의 오류 (the fallacy of denying the antecedent)

A이면 B이다. (If A, then B.)
A가 아니다. (Not-A.)
그러므로 B가 아니다. (Not-B.)

 

• 이러한 논증 구조는 반례를 허용한다. 이런 종류의 부당한(invalid) 논증이 범하는 오류를 전건 부정의 오류라고 부른다. A'이어도 B일 수 있다.

 

💡 후건 긍정의 오류 (the fallacy of affirming the consequent)

A이면 B이다. (If A, then B.)
B이다. (B.)
그러므로 A이다. (A.)

 

• 이런 종류의 논증이 범하는 오류를 후건 긍정의 오류라고 부른다. A가 아니여도 B일 수 있다.

 

논리적 연결사: 부정, 연언 그리고 선언

단순 문장과 복합 문장의 구분

• 단순 문장(simple sentence)은 논리적 연결사를 포함하고 있지 않은 문장이다.
• 복합 문장(compound sentence)은 논리적 연결사를 이용하여 구성된 문장이다.

단순 문장은 참이거나 거짓이거나, 단지 두가지 가능성만을 갖는다. 단순 문장을 G라고 하면 문장 G의 진리표(truth table)을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

 

~G

 

여기서 '~'는 부정 기호이다. G'는 'G'가 참이 아님을 말한다. '~G'는 단순 문장과 부정 기호가 결합된 복합 문장으로 볼 수 있다. 부정 기호의 기능은 주어진 문장의 진리값을 반대로 바꿔주는 것이다.

 

 

부정의 의미를 이와 같이 진리값들의 함수로 정의하는 것을 부정의 진리 함수적 정의(the truth-functional definition of negation)라고 부른다.

 

연언

첫 번째 문장을 ‘G’로 표시하고, 두 번째 문장을 ‘Y’로 표시하자. 그리고 논리적 연결사 ‘그리고’를 ‘&’라는 기호로 표시하자. 그러면 복합 문장을 다음과 같이 기호화할 수 있다.

 

G & Y

 

단순 문장은 T와 F의 두 가지 가능성을 갖기 때문에, 위의 복합 문장은 네 가지 가능성을 갖는다.

 

 

연언 문장 ‘G & Y’는 두 구성 문장들이 둘 다 참일 경우에만 참이고, 그 외에는 거짓이 된다. ‘&’의 의미를 정의하는 것을 ‘연언의 진리 함수적 정의’the truth-functional definition of conjunction라고 부른다.

 

선언

첫 번째 단순 문장을 ‘G로 표시하고, 두 번째 단순 문장을 ‘Y’로 표시하자. 그리고 논리적 연결사 ‘또는’을 ‘∨’라는 기호로 표시하자. 그러면 위의 복합 문장은 다음과 같이 기호화할 수 있다.

 

G ∨ Y

 

위의 복합 문장은 다음과 같이 네 가지 가능성을 갖는다.

 

 

‘∨’의 의미를 정의하는 것을 ‘선언의 진리 함수적 정의’the truth-functional definition of disjunction라고 부른다.

 

(1) 8시발 부산행 KTX열차는 지금 1번 선로 또는 2번 선로 위에 있다.

(2) 혜영은 19세 또는 20세이다.

 

문장 (1)과 문장 (2)에서 ‘또는’이란 표현은 ‘둘 중의 하나이지만 둘 다는 아니다’one or the other, but not both를 뜻한다. 이런 의미의 ‘또는’을 배타적 의미의 ‘또는’the exclusive sense of ‘or’이라고 부른다.

 

(3) 연료 필터가 거의 막혀 있거나 또는 스파크 플러그가 손상되어 있다.
(4) 보험료 납부는 아프거나 또는 실직할 경우 면제될 것이다.

 

문장 (3)과 문장 (4)에서 ‘또는’이란 표현은 ‘둘 중 하나이거나 또는 둘다이다’either or possibly both를 뜻한다. 이런 의미의 ‘또는’을 포괄적 또는 비배타적 의미의 ‘또는’the inclusive or nonexclusive sense of ‘or’이라고 부른다.

 

배타적 의미의 ’또는’이 포함된 선언 문장의 진리 조건은 어떻게 논리적으로 표현될 수 있는가?

 

 

모순, 반대, 소반대, 정언 진술 그리고 벤 다이어그램

💡 정의: X와 Y는 반대 관계contraries이다. = X와 Y는 동시에 참일 수 없다.

문장 X와 문장 Y가 반대 관계일 경우에 둘 중 적어도 하나는 거짓이다.

 

(1) 모든 논리학자들은 착하다.
(2) 어느 논리학자도 착하지 않다.

 

위 두 문장들은 반대 관계에 있다. (1)과 (2)는 동시에 참일 수 없다. 그렇지만 동시에 거짓일 수 있다. 반대 관계는 부분적 대립 관계를 표현한다.

 

(3) 어떤 논리학자들은 착하다.
(4) 어떤 논리학자들은 착하지 않다.

 

(3)과 (4)는 동시에 참일 수 있다. 따라서 (3)과 (4)는 반대 관계가 아니다. 그렇지만 동시에 거짓일 수는 없다. 이처럼 동시에 거짓일 수 없는 관계를 소반대 관계라고 부른다.

 

(1)과 (4)는 항상 서로 다른 진리값을 가진다. 이와같은 전면적인 대립 관계를 ‘모순 관계’라고 부른다.

 

💡 정의: X와 Y는 모순 관계contradictories이다 = X와 Y는 항상 서로 다른 진리 값을 가진다.

즉 X와 Y 중 하나가 참일 경우에 항상 다른 하나가 거짓이면 양자는 모순 관계에 있다. 따라서 모순 관계에 있는 두 문장들은 동시에 참일 수도 없고 동시에 거짓일 수도 없다.

 

정언 진술

정언 진술은 주어the subject term에 의해 지시되는 집합의 전부 또는 일부가 술어the predicate term에 의해 지시되는 집합에 의해 포함 또는 배제되어 있음을 주장하는 진술이다.

 

전칭긍정 진술universal affirmative statement

주어 집합the subject set 전체가 술어 집합the predicate set에 포함되어 있음을 주장하는 진술이다. 즉 이러한 진술에 따르면, 주어 집합에 속하는 모든 원소들이 또한 술어 집합에 속하는 원소이다.

 

모든 A들은 B이다.
All A are B

 

 

여기서 집합 A에서 빗금 친 부분은 비어 있음을 나타낸다. 따라서 위의 벤 다이어그램은 집합 A가 집합 B에 포함되어 있음을 보여 준다.

 

전칭부정 진술universal negative statement

주어 집합 전체가 술어 집합에 포함되어 있지 않음을 주장하는 진술이다. 즉 주어 집합의 어느 원소도 술어 집합에 속하지 않음을 주장하는 진술이다.

 

어느 A도 B가 아니다.
No A is B.

 

 

이는 집합 A와 집합 B에 동시에 속하는 원소가 없음을 보여 준다.

 

특칭긍정 진술particular affirmative statement

주어 집합의 일부가 술어 집합에 포함되어 있음을 주장하는 진술이다. 즉 주어 집합의 원소들 중 한 개 또는 그 이상의 원소가 술어 집합에 속해 있음을 주장한다.

 

어떤(약간의) A들은 B이다.
Some A are B.

 

 

여기서 집합 A와 집합 B가 중복되는 곳에 표시된 x는 두 집합들에 동시에 속하는 원소가 있음을 보여 준다.

 

특칭부정 진술particualr negative statement

주어 집합의 일부가 술어 집합에 포함되어 있지 않음을 주장하는 진술이다.

 

어떤(약간의) A들은 B가 아니다.
Some A are not B.

 

 

위 다이어그램은 집합 B에는 속하지 않지만, 집합 A에는 속하는 원소가 있음을 보여 준다.

 

대립 사각형the square of opposition

전통 논리학은 ‘모든 F들은 G이다’라는 전칭긍정 진술을 (A) 진술이라고 부른다. 그리고 ‘어느 F도 G가 아니다’라는 전칭부정 진술을 (E) 진술이라고 부른다. 그리고 ‘어떤 F들은 G이다’는 특칭긍정 진술을 (I) 진술이라고 부른다. 그리고 끝으로 ‘어떤 F들은 G가 아니다’는 특칭부정 진술을 (O) 진술이라고 부른다.

 

 

대립 사각형에서 다음 관계들이 성립한다.

1. (A) 진술과 (O) 진술은 모순 관계이다.
2. (E) 진술과 (I) 진술은 모순 관계이다.
3. 주어가 지시하는 그 무엇이 존재할 경우에 (A) 진술과 (E) 진술은 반대 관계이다.
4. 주어가 가리키는 그 무엇이 존재할 경우에 (A) 진술은 (I) 진술을 논리적으로 함축하고, 또한 (E) 진술은 (O) 진술을 논리적으로 함축한다.
5. 진술 p가 진술 q 를 ‘논리적으로 함축한다’logically implies는 말은 p가 참일 경우에 q가 참이라는 사실이 항상 성립한다는 말이다.

 

주어가 가리키는 그 무엇이 존재하지 않을 경우에 이러한 함축 관계는 성립하지 않는다. 예컨대 ‘모든 유니콘들은 뿔이 하나이다’는 ‘어떤 유니콘은 뿔이 하나이다’를 함축하지 않는다. 마찬가지로, ‘어느 유니콘도 뿔이 두 개가 아니다’는 ‘어떤 유니콘은 뿔이 두 개가 아니다’를 함축하지 않는다.

 

 

이와 같은 문제가 발생하는 것은 전칭 명제가 반드시 존재 함축existential import을 갖는 것이 아니기 때문이다. 예컨대 다음과 같은 경고문이 어떤 군사 시설의 울타리에 붙어 있다고 생각해 보자. ‘모든 침입자들은 처벌될 것이다.’ 이 명제가 해주는 것은, 이 시설에 침입하는 사람이 있다면 그 사람이 처벌된다는 것이지, 반드시 어떤 침입자가 실제로 존재함을 함축하지 않는다.

 

주어가 가리키는 그 무엇이 존재하는 경우에 (A) 진술과 (E) 진술은 동시에 참일 수 없다.

 

주어가 가리키는 그 무엇이 존재하지 않을 경우에 이와 같은 반대관계가 성립하지 않는다. 위의 두 벤 다이어그램들이 보여주듯이, A 집합이 공집합인 경우에 (A) 진술에 관한 벤 다이어그램과 (E) 진술에 관한 벤 다이어그램은 서로 양립할 수 있다. 다시 말해 주어가 가리키는 그 무엇이 존재하지 않을 경우에 ‘모든 A들은 B이다’와 ‘어느 A도 B가 아니다’는 동시에 성립할 수 있다.

 

정언 진술로 이루어진 논증들과 벤 다이어그램을 이용한 타당성 판별

정언 삼단논법categorical syllogism은 정확히 세 개의 명사들terms을 포함하고 있는 세 개의 정언 진술들로 구성된 연역 논증을 말한다.

 

모든 개들은 포유류이다.
모든 포유류들은 동물이다.
그러므로 모든 개들은 동물이다.

 

이 논증은 두 개의 전제들과 한 개의 결론으로 구성되어 있으며, 각 전제와 결론은 모두 정언 진술이다. 그리고 이 논증에는 집합을 지시하는 세 개의 명사들, 즉 ‘개', ‘포유류', ‘동물'이 포함되어 있다. 이러한 구조를 갖는 논증을 우리는 정언 삼단논법이라고 부른다.

 

모든 A들은 B이다.
어떤 C들은 B가 아니다.
그러므로 어떤 C들은 A가 아니다.

 

 

첫 번째 전제는 전칭긍정 진술이다.

 

 

두 번째 전제는 특칭부정 진술이다.

 

 

 

위의 벤 다이어그램 속에 결론의 주장이 포함되어 있으면 주어진 논증은 타당하고, 그렇지 않으면 부당하다. 위의 벤 다이어그램은 C에 속하지만 A에는 속하지 않는 어떤 x가 존재함을 보여준다. 따라서 위의 논증은 타당하다.

 

모든 사람들은 포유류이다.
메리는 포유류이다.
그러므로 메리는 사람이다.

 

모든 A는 B이다.
m은 B이다.
그러므로 m은 A이다.

 

여기서 ‘m’은 구체적인 대상의 이름이다. 따라서 위 논증에는 두 개의 집합 명사가 나온다. 따라서 위의 논증은 단지 두 개의 원을 갖는 벤 다이어그램으로 나타낼 수 있다.

 

 

첫 번째 전제는 위와 같이 나타낼 수 있다.

 

 

두 번째 전제는 m이 집합 B에 속함을 주장한다. 그런데 우리는 m이 집합 A와 집합 B가 중첩되는 곳에 속하는지 아니면 집합 B에만 속하는지 알 수 없다. 한 가지 가능성은 m이 집합 A에는 속하지 않고 집합 B에만 속하는 경우이다.

 

 

이 경우에 첫 번째 전제와 두 번째 전제가 모두 성립하지만, 결론은 도출되지 않는다. 그러므로 위의 논증은 부당하다.

위의 논증은 두 번째 전제 ‘메리는 포유류이다’와 ‘메리는 사람이다’는 정언 진술이 아니라는 점이다. 위 논증의 타당성을 판별하기 위해 이용하는 벤 다이어그램이 세 개의 원을 갖지 않는 이유는 이 사실과 관련된다. 또한 주목할 점은 위의 논증의 경우처럼 ‘m은 A이다’ 형태의 전제와 결론을 포함하는 논증도 나머지 전제가 정언 진술인 경우에 벤 다이어그램을 이용해 타당성을 판별할 수 있다는 사실이다.

 

모든 논리학자들은 철학자이다.
어떤 지성인들은 논리학자가 아니다.
그러므로 어떤 지성인들은 철학자가 아니다.

 

위 논증의 구조는 다음과 같다.

 

모든 A들은 B이다.
어떤 C들은 A가 아니다.
그러므로 어떤 C들은 B가 아니다.

 

 

여기서 우리는 x가 집합 B와 집합 C가 중첩되는 곳에 속하는지 아니면, 집합 C에 속하는지 알 수 없다. 그렇지만 x가 집합 B와 집합 C가 중첩되는 곳에 속하는 경우 위의 두 전제들은 성립하지만, 결론은 도출되지 않는다. 그러므로 위의 논증은 부당하다.